Phương trình schrödinger là gì? Các công bố khoa học về Phương trình schrödinger

Trong bài báo này, chúng tôi phân tích một bộ tích phân mới theo kiểu mũ cho phương trình Schrödinger phi tuyến bậc ba trên torus nhiều chiều d $\mathbb{T}^{d}$ T d . Phương pháp này cũng đã được phát triển gần đây trong một bối cảnh rộng hơn của các cây trang trí (Bruned et al. trong Forum Math. Pi 10:1–76, 2022). Phương pháp này là rõ ràng và hiệu quả trong việc triển khai. Tại đây, chúng tôi trình bày một cách phát sinh khác và đưa ra phân tích sai số nghiêm ngặt. Cụ thể, chúng tôi chứng minh sự hội tụ bậc hai trong $H^{\gamma }(\mathbb{T}^{d})$ H γ ( T d ) cho dữ liệu ban đầu trong $H^{\gamma +2}(\mathbb{T}^{d})$ H γ + 2 ( T d ) cho bất kỳ $\gamma > d/2$ γ > d / 2 . Điều này cải thiện công trình trước đó (Knöller et al. trong SIAM J. Numer. Anal. 57:1967–1986, 2019).

Thiết kế của phương pháp dựa trên một phương pháp mới để xấp xỉ tương tác tần số phi tuyến. Điều này cho phép chúng tôi xử lý cấu trúc cộng hưởng phức tạp trong các chiều tùy ý. Các thí nghiệm số phù hợp với kết quả lý thuyết bổ sung cho công trình này.

Chúng tôi chứng minh các kết quả mới về tính đủ điều kiện địa phương và toàn cục cho phương trình Schrödinger phi tuyến một chiều bậc ba trong các không gian điều chế. Các kết quả địa phương được thu được thông qua nội suy đa tuyến. Các kết quả toàn cục được chứng minh bằng cách sử dụng các đại lượng bảo toàn dựa trên tính tích phân hoàn chỉnh của phương trình, tính bền vững của quy luật, và bằng cách tách biệt sự tiến hóa theo thời gian của một số hữu hạn các bước lặp Picard.

Trong bài báo hiện tại, một phương trình Schrödinger phi tuyến tổng quát (gNLS) với phi tuyến logarithm được nghiên cứu như một mô hình cho sự lan truyền của các xung quang. Cụ thể hơn, sau khi áp dụng một giả thuyết cụ thể cho nghiệm của phương trình điều khiển, sóng cô đơn Gaussian của nó được khôi phục bằng phương pháp ansatz. Một số mô phỏng số trong các tư thế hai và ba chiều được trình bày để điều tra tác động của các tham số vật lý khác nhau trên động học của sóng cô đơn Gaussian. Các kết quả xác nhận rằng các tham số vật lý của phương trình gNLS đóng một vai trò quan trọng trong việc điều khiển động học của sóng cô đơn Gaussian.

Trong công trình này, chúng tôi điều tra các cụm sóng lừa (RW) có hình dạng khác nhau, bao gồm các soliton Kuznetsov–Ma (KMS) từ phương trình Schrödinger phi tuyến (NLSE) với phi tuyến Kerr. Chúng tôi trình bày ba loại nghiệm chính xác bậc cao trên nền tảng đồng nhất được tính toán bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi Darboux (DT) với các tham số được chọn một cách chính xác. Phân lớp nghiệm đầu tiên có đặc trưng là các đỉnh cường độ mạnh và hẹp được lặp lại dọc theo trục tiến hóa x, khi các trị riêng trong phương pháp DT tạo ra các KMS với tần số tương ứng. Phân lớp nghiệm thứ hai thể hiện một dạng cụm sóng lừa hình elip; nó được suy ra từ phân lớp nghiệm đầu tiên khi các dịch chuyển tiến hóa đầu tiên m trong phương pháp DT bậc n là khác không và bằng nhau. Chúng tôi chỉ ra rằng các đỉnh cường độ cao xây dựng trên các KMS có bậc $$n-2m$$ n - 2 m xuất hiện định kỳ dọc theo trục x. Cấu trúc này, được coi như sóng lừa trung tâm, được bao quanh bởi m hình elip bao gồm một số lượng nhất định các KMS bậc nhất được xác định bởi chỉ số elip và bậc của nghiệm. Phân lớp cụm KMS thứ ba được thu được khi các trị riêng DT thực tế tưởng tượng có xu hướng đến một giá trị bù lớn hơn một, trong khi giữ nguyên các dịch chuyển x. Chúng tôi cho thấy sóng lừa trung tâm tại (0, 0) luôn duy trì thứ bậc $$n-2m$$ n - 2 m của nó. Các đuôi n được tạo thành từ các KMS bậc đầu tiên được hình thành ở trên và dưới cực đại trung tâm. Khi n là số chẵn, các mẫu phức tạp hơn được tạo ra, với m và $$m-1$$ m - 1 các vòng trên và dưới sóng lừa trung tâm, tương ứng. Cuối cùng, chúng tôi tính toán một lớp nghiệm bổ sung trên một nền sóng gợn, được xác định bởi hàm dnoidal elliptic Jacobi, hiển thị các mẫu cường độ cụ thể phù hợp với sự nhiễu loạn gợn trên nền. Công trình này chứng minh sức mạnh phi thường của phương pháp DT trong việc tạo ra các nghiệm mới của NLSE và sự phong phú to lớn trong hình thức và chức năng của những nghiệm đó.